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已知正方体ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,MN分别是B1C1,C1D1的中点.求①：A1到平面BMND的距离 ②求B1到平面CNM的距离.
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已知正方体ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,MN分别是B1C1,C1D1的中点.
求①：A1到平面BMND的距离 ②求B1到平面CNM的距离.
求①：A1到平面BMND的距离 ②求B1到平面CNM的距离.
▼优质解答
答案和解析
(1)连BN,DN,A1N,A1D,BD,A1B,得三棱锥A1-BND.
设A1D中点为P,可以求得PN=√3/2a,PB=√6a/2,BN=3/2a,所以,PN⊥PB,又PN⊥A1D,所以,PN⊥面A1BD,
另外,可以求得点N到线段BD的距离为3√2/4a,用等体积法,即：
三棱锥A1-BND体积 = 三棱锥N-A1BD体积
解得 A1到平面BMND的距离为a
（2）同理,三棱锥B1-CMN体积 = 三棱锥C-B1MN体积,
解得 B1到平面CNM的距离为1/3a.
设A1D中点为P,可以求得PN=√3/2a,PB=√6a/2,BN=3/2a,所以,PN⊥PB,又PN⊥A1D,所以,PN⊥面A1BD,
另外,可以求得点N到线段BD的距离为3√2/4a,用等体积法,即：
三棱锥A1-BND体积 = 三棱锥N-A1BD体积
解得 A1到平面BMND的距离为a
（2）同理,三棱锥B1-CMN体积 = 三棱锥C-B1MN体积,
解得 B1到平面CNM的距离为1/3a.
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