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正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在A1C上,且AM=1/2MC1,N为BB1的中点,则MN的长为多少?
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正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在A1C上,且AM=1/2MC1,N为BB1的中点,则MN的长为多少?
▼优质解答
答案和解析
设AC的中点为Q,连BQ,易证 BQ ⊥ 面AA1C1C.
设 A1C 与 AC1 交于点O.
连 ON 因N为BB1的中点
∴ ON 平行且等于 BQ
∴ ON ⊥ 面AA1C1C
∴ △NOM 是 Rt△,且 ∠NOM = 90°
又∵ ON = BQ = √2a /2
OM = OA 1 -- MA1
= √3a /2 -- √3a /3
= √3a / 6
∴ MN² = OM² + ON²
= （√2a /2 ）² + (√3a / 6)²
= 21a² / 36
∴ MN = √21 a / 6 即 6 分之根号21 倍的 a.
设 A1C 与 AC1 交于点O.
连 ON 因N为BB1的中点
∴ ON 平行且等于 BQ
∴ ON ⊥ 面AA1C1C
∴ △NOM 是 Rt△,且 ∠NOM = 90°
又∵ ON = BQ = √2a /2
OM = OA 1 -- MA1
= √3a /2 -- √3a /3
= √3a / 6
∴ MN² = OM² + ON²
= （√2a /2 ）² + (√3a / 6)²
= 21a² / 36
∴ MN = √21 a / 6 即 6 分之根号21 倍的 a.
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