有穷数列｛an｝共有2k项,a1=2,设数列前n项和为Sn,且an+1=（a-1）Sn+2,a>1,求证：数列｛an｝是等比数列

Question

有穷数列｛an｝共有2k项,a1=2,设数列前n项和为Sn,且an+1=（a-1）Sn+2,a>1,求证：数列｛an｝是等比数列

Answer 1

a(n+1)=(a-1)Sn+2
an=(a-1)S(n-1)+2
两式想减,得
a(n+1)-an=(a-1)an
即a(n+1)=a*an,以上的讨论中n的范围是n>1且n∈N,
∵a>1
∴a(n+1)/an=a,n>1且n∈N,
当n=1时,因为a1=2
∴a2=(a-1)a1+2=2a,
∴a2/a1=2a/2=a
综上所述,对任意正整数n,都有a(n+1)/an=a,a>1
∴{an}是等比数列,且an=a1*a^(n-1)=2a^(n-1),n∈N+
得证!