如图,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD为直角三角形,且PA=AD=2 E F G为PA PD CD中点I)求证：PB‖平面EFG；(ii)在线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为0.8,若存在,求出CQ的值；若不存在,

Question

如图,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD为直角三角形,且PA=AD=2 E F G为PA PD CD中点
I)求证：PB‖平面EFG；
(ii)在线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为0.8,若存在,求出CQ的值；若不存在,说明理由

Answer 1

1、
证：取AB中点H,连接GH,EH；GH与BD交于O点,连接FO；
∵G为CD中点
∴GH∥AD
∵E,F分别为PA,PD中点
∴EF∥AD
∴GH∥EF
∴H点与E,F,G三点共面
则：平面EFG即平面EFGH
在正方形ABCD由平面几何知识易得：O为BD中点
在△PAD中,F,O分别为PD,PA中点
∴PB∥FO
FO包含于平面EFG,PB不包含于平面EFG
∴PB∥平面EFG
2、
∵平面PAD⊥平面ABCD,AD为交线,CD⊥AD,CD包含于平面ABCD
∴CD⊥平面PAD
点Q在CD上,则QD⊥平面PAD
△PAD为直角三角形,且PA=AD=2
那么直角点只有可能是A,即PA⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD,AD为交线,而PA是包含于平面PAD的
∴PA⊥平面ABCD
假设存在Q点满足题意,过Q作QM⊥AB于点M,连接EM,则显然QM∥EF
∵PA⊥平面ABCD,QM包含于平面ABCD
∴PA⊥QM
又∵QM⊥AB,AB∩PA=A
∴QM⊥平面PAB
而直线EM是包含于平面PAB的
∴QM⊥EM
又QM∥EF
∴EF⊥EM
∴点Q到EF的距离即点M到EF的距离,即EM；
然后等体积法：V(A-EFQ)=V(Q-AEF)
∵QD⊥平面PAD,平面AEF即平面PAD
∴点Q到平面AEF的距离为QD
而点A到平面EFQ的距离为0.8
∴0.8S△EFQ*=QD*S△AEF ①
∵点Q到EF的距离即点M到EF的距离,即EM；EF=AD/2=1
∴S△EFQ=EF*EM/2=EM/2
△AEF为等腰直角三角形,AE=EF=1
∴S△AEF=1/2
∴①式化为：0.4EM=0.5QD
而QD=MA,则：0.4EM=0.5MA,即：EM=5MA/4
∴在Rt△AEM中,AE=1,EM=5MA/4
由勾股定理：EM²=MA²+AE²
解得：MA=4/3
即QD=4/3
则CQ=2/3
∴存在满足题意的点Q,CQ=2/3
注：略有难度的一道立体几何~
如果不懂,请Hi我,