如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ADC=90°,AB=5,AD=8,CD=3,线段AD上有一动点E,过点E作EF⊥AB,垂足为点F.（1）若AF=2,求DE的长；（2）当△AEF与△CED相似时,求DE的长

Question

如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ADC=90°,AB=5,AD=8,CD=3,线段AD上有一动点E,过点E作EF⊥AB,
垂足为点F.
（1）若AF=2,求DE的长；
（2）当△AEF与△CED相似时,求DE的长

Answer 1

（1）过B点作BG垂直于AD,垂足为G
角A=角A,角BGA=角EFA=90度；
所以三角形BGA相似于三角形EFA；
所以AE/AB=EF/BG,设AE=x,则EF=根号（x^2-4）;
所以x/5=根号(x^2-4)/3,解得x=5/2;
所以DE=8-5/2=11/2.
（2）连接BE,过点B作BG垂直于AD,垂足为G,设DE=x,EF=y
根据三角形ABE面积相等可知,AB*EF=AE*BG;
所以5*y=3*（8-x）,得y=（24-3x）/5
因为三角形AEF与三角形CED相似
所以当∠A=∠CDE时,AE/CE=EF/DE,即
（8-x）/根号（x^2+9）=[(24-3x)/5]/x
解得x=9/4,即DE=9/4
当∠A=∠DEC时,EF/CD=AE/CE,即
[(24-3x)/5]/3=(8-x)/根号（9+x^2）
解不存在.
所以当△AEF与三角形CED相似时,DE=9/4