如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E,F分别是PA,BD上的点且PE:EA=BF:FD求证EF//平面PBC.不要用面面平行,还没教.

Question

如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E,F分别是PA,BD上的点且PE:EA=BF:FD
求证EF//平面PBC.不要用面面平行,还没教.

Answer 1

证明：连接AF,延长AF,交BC于点G,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAF=∠BGF,
在△ADF和△GBF中,
∠DAF=∠BGF（已证）,
∠AFD=∠GFB（对顶角相等）,
∴ △AFD∽ △GFB（∽是相似符号）,
∴BF：GF=FD：FA,
∴BF：FD=GF：FA,
又∵BF：FD=PE：EA（已知）,
∴GF：FA=PE：EA（等式传递性）,
在△APG中,
GF：FA=PE：EA,
∴ △AEF∽ △APG,
∴∠AEF=∠APG,
∴EF∥PG,
∴EF∥平面PBC.
命题得证