在矩形ABCD中,已知AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F；动点P,Q分别从A,C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速移动一周,即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止,在运动中,一已知点

Question

在矩形ABCD中,已知AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F；动点P,Q分别从A,C两点同时出
发,沿△AFB和△CDE各边匀速移动一周,即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止,在运动中,一已知点P的速度为5cm/s,点Q的速度为4cm/s运动时间为t秒,当以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值；二若点P,Q的运动路线分别为a,b(单位：cm,ab不等于0)已知A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式

Answer 1

（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE,∵EF垂直平分AC,垂足为O,∴OA=OC,∴△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴四边形AFCE为平行四边形,又∵EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形,②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=（8-x）cm,在Rt△ABF中,AB=4cm,由勾股定理得42 （8-x）2=x2,解得x=5,∴AF=5cm．（2）①显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上,也不能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,∴PC=5t,QA=12-4t,∴5t=12-4t,解得t=4/3,∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=4/3秒．②由题意得,以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：i）当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,即a=12-b,得a b=12；ii）当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,即12-b=a,得a b=12；iii）当P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,即12-a=b,得a b=12．综上所述,a与b满足的数量关系式是a b=12（ab≠0）．