关于 数学选修2-2 1.某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价为每天180元时,房间会全部注满；房间单价每增加10元,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆每天需花费20元的各种维护

Question

关于 数学选修2-2
1.某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价为每天180元时,房间会全部注满；房间单价每增加10元,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆每天需花费20元的各种维护费用,宾馆定价多少时,宾馆利润最大?注：
2.①圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底的半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?
②变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用材料最省?
3.求函数f(x)=3x-x^3 的极值
4.曲线y=xe^x+2x+1在点（0,1）处的切线方程

Answer 1

1、设房间定价为P,则宾馆的利润W为：
W=（P-20）*[50-（P-180)/10].
对P求一阶导,得
dW/dP=-0.2P+70,令其等于0,得P=350.
二阶导为-0.2《=0,故该问题只有唯一最大值.
2、设容积为V,所用材料为S（不封顶）,底部半径为r,高为h.依题意,有
V=πhr^2——（1）
S=πr^2+2πrh——（2）
把（2）式代入（1）式,得
S=V/h+2πrh,对h求导,得
dS/dh=-V/h^2+2πr,另其等于0,得
r=V/(2πh^2),将（1）代入此式,得
r=2h.
检验二阶导,有V/h^3>0,故存在唯一最小值.
3、该函数在定义域上是可导的,对f(x)求一阶导,得f'(x)=3-3x^2,
令f'(x)=0,得x=1或者-1.f'(1)=2,f'(-1)=-2,
f(x)在（-1,1）上是递增的,在其他部分是递减的,故f(x)极小值为-2,极大值为2.
4、该函数在定义域上是可导的,对x求一阶导,有
dy/dx=e^x+xe^x+2,令x等于0,有
dy/dx=1+0+2=3,故切线方程斜率为3,
令切线方程为：y=3x+b,将（0,1）代入该方程,有
1=0+b,所以b=1,
故该曲线在（0,1）处的切线方程为y=3x+1.