已知一棱台的两个底面面积分别是245平方厘米和80平方厘米,截得这个棱台的棱锥的高是35cm,则这个棱台高是多少?

Question

已知一棱台的两个底面面积分别是245平方厘米和80平方厘米,截得这个棱台的棱锥的高是35cm,则这个棱台高是多少?

Answer 1

1 因为棱台中,上,下底面和截面是相似多边形
根据相似多边形面积的比等于对应边的比的平方,又知两底面面积分别为1和9,截面的面积是4,
那么对应边的比=根号1:根号4:根号9=1:2:3
所以截面与上,下底面距离之比=(2-1):(3-2)=1:1
2 由于轴截面两条对角线互相垂直
容易知道,圆台的高=上底面半径+下底面半径
因为母线长为8,母线与底面成60度角
所以高=8*sin60=4根号3,下底面半径-上底面半径=8*cos60=4
这样下底面半径=(4+4根号3)/2=2+2根号3,下底面半径=2根号3-2
全面积S＝π〔r1(l1+r1)+r2(l1+r2)〕
=π[(2+2根号3)*(8+2+2根号3)+(2根号3-2)*(8+2根号3-2)]
=π(20+4根号3+20根号3+12+12根号3+12-12-4根号3)
=π（32+32根号3）
=32(1+根号3)π
3 因为棱台中,上,下底面和截面是相似多边形
根据相似多边形面积的比等于对应边的比的平方,又知截面面积,下底面面积的比为1:4:9,
那么对应边的比=根号1:根号4:根号9=1:2:3
所以截面与上,下底面距离之比=(2-1):(3-2)=1:1
由于截面把台体分成上下两个台体
上面台体中截面对应边=(1+2)/2=1.5,面积=1.5^2=2.25
下面台体中截面对应边=(2+3)/2=2.5,面积=2.5^2=6.25
V=1/6×(S上＋4S中＋S下)×h
那么体积比=(1+4*2.25+4):(4+6.25*4+9)=(1+9+4):(4+25+9)
=14:38
=7:19