设向量a=(cosa,sina),b=(cosb,sinb),且a和b满足|ka+b|=根号3|a-kb|(其中k>0).(1)求ab(用k表示）；(2)求证：a和b不可能垂直；(3)当a和b的夹角为60度时,求k的值

Question

设向量a=(cosa,sina),b=(cosb,sinb),且a和b满足|ka+b|=根号3|a-kb|(其中k>0).
(1)求ab(用k表示）；
(2)求证：a和b不可能垂直；
(3)当a和b的夹角为60度时,求k的值

Answer 1

(1).易知|kA|=|kB|=|k|;
设向量A与B夹角为α;
根据题中条件作图可以看出:
向量A、kB、A-kB构成三角形;A与kB所夹辐角为α;则由余弦定理,|A-kB|^2=|A|^2+|kB|^2-2|A||kB|cosα;即|A-kB|^2=1+|k|^2-2|k|cosα;
向量B、kA、kA+B构成三角形;B与kA所夹辐角为π-α;则由余弦定理,|kA+B|^2=|B|^2+|kA|^2-2|A||kB|cos(π-α);即|kA+B|^2=1+|k|^2+2|k|cosα;
而由（kA+B）的模等于根号3倍（A-kB)的模,则有|kA+B|^2=3|A-kB|^2
即1+|k|^2+2|k|cosα=3(1+|k|^2-2|k|cosα);
8|k|cosα=2(1+|k|^2);
cosα=(1+|k|^2)/(4|k|)=(1/4)(|k| + 1/|k|).
则A与B的数量积=|A||B|cosα
=1*1*(1/4)(|k| + 1/|k|)
=(1/4)(k + 1/k).
(2).若a、b垂直,则有：a*b=0.
将｜ka+b｜=√3｜a-kb｜两边同时平方得：
k^2*a^2+2ka*b+b^2=3a^2-2*3ka*b+3k^2*b^2 (1)
即：k^2*a^2+b^2=3a^2+3k^2*b^2
而:a^2=b^2=1,所以：
k^2+1=3+3k^2
k无解.所以a与b不能垂直.
(3).若ab夹角为60,则有：a*b=|a|*|b|*cos60'=1/2|a|*|b|
由于|a|=|b|=1,所以：a*b=1/2
代入式（1）得：
k^2*a^2+k+b^2=3a^2-3k+3k^2*b^2
再代入a^2=b^2=1,可得：
k^2+k+1=3-3k+3k^2
解得：k=1