若复数z的虚部不等于0,且z的三次方+z+1=0,则A.|z|＜1B.|z|=1C.1＜|z|＜√2D.|z|≥√2设△ABC为锐角三角形。证明：（1）sinA+sinB＞1+cosB；（2）2＜sinA+sinB+sinC≤（3√2）/2。

Question

若复数z的虚部不等于0,且z的三次方+z+1=0,则
A.|z|＜1 B.|z|=1 C.1＜|z|＜√2 D.|z|≥√2
设△ABC为锐角三角形。证明：
（1）sin A+sin B＞1+cos B；
（2）2＜sin A+sin B+sin C≤（3√2）/2。

Answer 1

对于方程x^3+x+1=0 有三个解 ,其中有一个复数解z ,然后代入z的共轭复数 y也满足方程,由唯一分解定理 (x-z)(x-y)(x-m)=0,m是第三个解,必须为实数.去括号,得到,x^3-(z+y+m)x^2+(zy+ym+zm)x-zym=0 对应项相等,所以 z+y+m=0,z+y=-m 又有zy+ym+zm=zy+(z+y)m=1 ,zy=1+m^2 ,zy就是z的摸的平方,显然zy>1 左边的不等式得证.然后,zym=-1 ,x^3+x+1在实数范围内单调递增,显然,带入-1/2得到3/8>0,所以m