已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝-1,与X轴交于A,B两点,与Y轴交于点C,其中A（-3,0）,C（0,2）（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）一直在对称轴上存在一点P,使得三角形PBC的周

Question

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝-1,与X轴交于A,B两点,与Y轴交于点C,其中A（-3,0）,C（0,2）（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）一直在对称轴上存在一点P,使得三角形PBC的周长最小,请求出点P的坐标,（3）.若点D是线段OC上的一个动点（不与点）,点C重合）,过点D作DE//PC交于X轴于点E.连接PD,PE,设CD的长为M,三角形PDE的面积为S,求S与M之间的函数关系式,试说明S是否存在最大值,若存在,请求出最大值,存不存在,说明理由

Answer 1

（1）由题意得
b/2a=1
9a-3b+c=0
C=-2
解得
a=2/3
b=4/3
c=-2
∴此抛物线的解析式为y=(2/3)x^2+ (4/3)x-2．
（2）连接AC、BC．
因为BC的长度一定,
所以△PBC周长最小,就是使PC+PB最小．
B点关于对称轴的对称点是A点,AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P．
设直线AC的表达式为y=kx+b,
则
-3k+b=0
B=-2
解得k=-2/3
B=-2
∴此直线的表达式为y=-(2/3)x-2,
把x=-1代入得y=-4/3
∴P点的坐标为（-1,-4/3）．
（3）S存在最大值,
理由：∵DE∥PC,即DE∥AC．
∴△OED∽△OAC．
∴ OD/OC=OE/OA,即(2-m)/2=OE/3,
∴OE=3-(3/2) m,OA=3,AE=(3/2)m,
∴S=S△OAC-S△OED-S△AEP-S△PCD
= 1/2×3×2- 1/2×（3- 3/2m）×（2-m）-1/2× 3/2m×4/3- 1/2×m×1
=- 3/4m^2+ 3/2m=- 3/4（m-1）^2+3/4
∵-3/4>0
∴当m=1时,S最大=3/4．