已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），F1，F2为双曲线的左右焦点，若在双曲线的右焦点上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是．

Question

已知双曲线C：(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0），F₁，F₂为双曲线的左右焦点，若在双曲线的右焦点上存在一点P，使得|PF₁|=3|PF₂|，则双曲线的离心率的取值范围是______．

Answer 1

设P点的横坐标为x
∵|PF₁|=3|PF₂|，P在双曲线右支（x≥a）
根据双曲线的第二定义，可得3e（x-(a2)/(c)）=e（x+(a2)/(c)）
∴ex=2a
∵x≥a，∴ex≥ea
∴2a≥ea，∴e≤2
∵e＞1，∴1＜e≤2
故答案为：1＜e≤2．