25．（本题满分12分）如图,已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1,且抛物线经过A（—1,0）、B（0,—3）两点,与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线

Question

25．（本题满分12分）如图,已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1,且抛物线经过A（—1,0）、B（0,—3）两点,与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求出此时点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点,求使∠PCB＝90°的点P的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线的对称轴为x=1,且A（-1,0）,
∴B（3,0）；
可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）,由于抛物线经过C（0,-3）,
则有：a（0+1）（0-3）=-3,a=1；
∴y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3；
（2）由于A、B关于抛物线的对称轴x=1对称,
那么M点为直线BC与x=1的交点；
由于直线BC经过C（0,-3）,可设其解析式为y=kx-3,
则有：3k-3=0,k=1；
∴直线BC的解析式为y=x-3；
当x=1时,y=x-3=-2,即M（1,-2）；
（3）设经过C点且与直线BC垂直的直线为直线l；
∵直线BC：y=x-3,
∴直线l的解析式为：y=-x-3；
当x=1时,y=-x-3=-4；
∴P（1,-4）．