如图，已知抛物线经过原点O，与x轴交于另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=2x+1经过抛物线上一点B（m，-3），且与y轴、直线x=2分别交于点D，E。（1）求抛物线对应的函数解析式

题目详情

如图，已知抛物线经过原点O，与x轴交于另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=2x+1经过抛物线上一点B（m，-3），且与y轴、直线x=2分别交于点D，E。
（1）求抛物线对应的函数解析式并用配方法把这个解析式化成y=a（x-h）² +k的形式；
（2）求证：CD⊥BE；
（3）在对称轴x=2上是否存在点P，使△PBE是直角三角形，如果存在，请求出点P的坐标，并求出△PAB的面积；如果不存在，请说明理由。

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答案和解析

（1）∵已知抛物线的对称轴为x=2， ∴设抛物线的解析式为，又∵直线经过点B（m，-3）， ∴ ，解得，m=-2， ∴点B（-2，-3），又∵二次函数的图象经过O（0，0） B（-2，-3），解得， ∴抛物线的解析式为；
（2）由题意解方程组，得 ∴点E的坐标为（2，5）， ∴CE=5，过点B作BF垂直于x轴于F，作BH垂直于直线x=2于H，交y轴于点Q， ∵点B（-2，-3），D（0，1）， ∴BF=3，BH=4，CH=BF=3，OD=1，EH=8，DQ=4，在Rt△BHE，Rt△BQO，Rt△BHC中有勾股定理得BE= ，BD= ，BC= ， ∴BD= BE 又∵EC=5， ∴BC=CE， ∴CD⊥BE；
（3）结论：存在点P，使△PBE是直角三角形， ①当∠BPE=90°时，点P与（2）中的点H重合， ∴此时点P的坐标为（2，-3）；延长BH与过点A（4，0）且与x轴垂直的直线交于M，则 ②当∠EBP=90°时，设点P（2，y）， ∵E（2，5），H（2，-3），B（-2，-3）， ∴BH=4，EH=8，PH=-3-y，在Rt△PBE中，BH⊥PE，可证得△BHP∽△EHB，，即，解得，此时点P的坐标为（2，-5），过点P与x轴平行的直线与FB的延长线交于点N，则综合①，②知点P的坐标为（2，-3），△PAB的面积为6；或点P的坐标为（2，-5），△PAB的面积为12。