设a,b属于R,且a不等于2,定义在区间(b,-b)内的函数f(X)=lg(1+ax/1+2x)是奇函数1.求b的取值范围2.讨论函数f(x)的单调性

Question

设a,b属于R,且a不等于2,定义在区间(b,-b)内的函数f(X)=lg(1+ax/1+2x)是奇函数
1.求b的取值范围
2.讨论函数f(x)的单调性

Answer 1

（1）因为f(X)在(b,-b)为奇函数,所以f(﹣X)=﹣f(X)
即lg(1-ax/1-2x)=-lg(1+ax/1+2x)
化简得lg(1-a²x²/1-4x²)=0,解得a=±2,又a≠2,所以a=﹣2.
f(X)=lg(1-2x/1+2x)的定义域
1-2x/1+2x＞0,解得﹣0.5＜x＜0.5
则-0.5≤b≤0.5且﹣b＞b
解得-0.5≤b＜0
（2）设x1,x2在定义域上且x2＞x1
f(x2)-f(x1)=lg(1-2*x2/1+2*x2)-lg(1-2*x1/1+2*x1)=lg﹛[(1-2*x2)(1+2*x1)/(1-2*x1)(1+2*x2)]﹜
∵x2＞x1
∴1-2*x2＜1-2*x1,1+2*x1＜1+2*x2
(1-2*x2)(1+2*x1)/(1-2*x1)(1+2*x2)＜1
f(x2)-f(x1)＜0
所以f(x)在定义域上为单调递减函数