数列{an}中,a1=1,Sn+1=4an+2设bn=an+1-2an,求证{bn}是等比数列,设cn=an/3n-1,求证cn是等比数列.

Question

数列{an}中,a1=1,Sn+1=4an+2设bn=an+1-2an,求证{bn}是等比数列,设cn=an/3n-1,求证cn是等比数列.

Answer 1

∵S(n+1)=4an+2
∴当n≥2时,Sn=4a(n-1)+2
∴S(n+1)-Sn=4an-4a(n-1),
即：a(n+1)=4an-4a(n-1).(1)
∴a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)],
即：bn=2b(n-1).
∴{bn}是等比数列.
等比数列{bn}的公比是2.
首项b1＝a2-2a1,
又S2＝4a1+2,a1+a2=4a1+2,
∴a2=3a1+2=5,
∴b1=3.
∴数列{bn}的通项公式是：bn=3*2^(n-1).
由a1=1.S(n+1)=4an+2得,S2=4a1+2=6=a1+a2,所以a2=5
由(1)得数列{a(n+1)-2an}为公比为2,首项为a2-2a1=3的等比数列,
所以a(n+1)-2an=3*2^(n-1)
两边都除以2^(n+1),得
a(n+1)/[2^(n+1)]-an/2^n=3/4
因此数列an/2^n为等差数列.(公差为3/4)
an/2^n=1/2+3/4(n-1)=3/4n-1/4
an=3*[2^(n-2)]*n-2^(n-2) =（3n-1）*2^(n-2)
cn=an/(3n-1)=（3n-1）*2^(n-2)/(3n-1)=2^(n-2)
所以数列{cn}是首项为1/2,公比为2等比数列.