已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数（1）若f（x）=2f′（x），求1+sin2xcos2x−sinxcosx的值；（2）求函数F（x）=f（x）f'（x）+f2（x）的最大值和最小正周期．

Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数
（1）若f（x）=2f′（x），求(1+sin2x)/(cos2x−sinxcosx)的值；
（2）求函数F（x）=f（x）f'（x）+f²（x）的最大值和最小正周期．

Answer 1

（1）∵f（x）=sinx+cosx=f′（x），
∴sinx+cosx=2cosx-2sinx，
∴cosx=3sinx，
∴tanx=(1)/(3)，
∴(1+sin2x)/(cos2x−sinxcosx)=(2sin2x+cos2x)/(cos2x−sinxcosx)=(2tan2x+1)/(1−tanx)=((11)/(9))/((2)/(3))=(11)/(6)．
（2）∵f′（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）
=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx
=1+sin2x+cos2x
=1+√(2)sin（2x+(π)/(4)）．
∴当2x+(π)/(4)=2kπ+(π)/(2)，即x=kπ+(π)/(8)（k∈Z）时，F（x）_max=1+√(2)，最小正周期T=(2π)/(2)=π．