求y=2sinxcosx+sinx+cosx的值域设t=sinx+cosx为什么可以得到t的值域为负根号2,根号2

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求y=2sinxcosx+sinx+cosx的值域
设t=sinx+cosx 为什么可以得到t的值域为【负根号2,根号2】

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答案和解析

设t=sinx+cosx 可以得到t的值域为【负根号2,根号2】,用的是任意角的三角函数公式
2sinxcosx=sin2x
t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
t∈[-√2,√2]
t²=1+sin2x
sin2x=t²-1
y=t²-1+t=(t+1/2)²-5/4
t=-1/2的时候,y的最小值=-5/4
t=√2的时候,y的最大值=√2+1
y∈[-5/4,√2+1]

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