若实数m,n满足m^2+n^2-4m-14n+45=0,则k=(n-3)/(m+2)的最大值为.

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答案和解析

m²+n²-4m-14n+45=(m-2)²+(n-7)²=8=(2根号2)²,
即可看做是（m,n）是以（2,7）为圆心,2根号2为半径的圆上的点.
而(m+2,n-3)则可看作是将圆平移到以(4,4)为圆心,2根号2为半径的圆上的点.
则k的最大值即为此圆上一点与原点相连的斜率最大值,即上切线.
因此不妨设y=kx,同时(x,y)满足(x-4)²+(y-4)²=8,所以圆心到直线距离为|4k-4|/(根号下k²+1)=2根号2
解得k=2±根号3,则k的最大值为2+根号3

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