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如图,点A在x轴的正半轴上,以OA为直径作⊙P,C是⊙P上一点,过点C的直线y=33x+23与x轴、y轴分别相交于点D、点E,连接AC并延长与y轴相交于点B,点B的坐标为(0,43).(1)求证:OE=CE;(2
题目详情
如图,点A在x轴的正半轴上,以OA为直径作⊙P,C是⊙P上一点,过点C的直线y=
x+2
与x轴、y轴分别相交于点D、点E,连接AC并延长与y轴相交于点B,点B的坐标为(0,4
).
(1)求证:OE=CE;
(2)请判断直线CD与⊙P位置关系,证明你的结论,并请求出⊙P的半径长.
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(1)求证:OE=CE;
(2)请判断直线CD与⊙P位置关系,证明你的结论,并请求出⊙P的半径长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接OC,
∵直线y=
x+2
与y轴相交于点E,
∴点E的坐标为(0,2
),即OE=2
.
又∵点B的坐标为(0,4
),
∴OB=4
,
∴BE=OE=2
,
又∵OA是⊙P的直径,
∴∠ACO=90°,即OC⊥AB,
∴OE=CE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
(2)直线CD是⊙P的切线.
①证明:连接PC、PE,由①可知:OE=CE.
在△POE和△PCE,
,
∴△POE≌△PCE,
∴∠POE=∠PCE.
又∵x轴⊥y轴,
∴∠POE=∠PCE=90°,
∴PC⊥CE,即:PC⊥CD.
又∵直线CD经过半径PC的外端点C,
∴直线CD是⊙P的切线;
②∵对y=
x+2
,当y=0时,x=-6,即OD=6,
在Rt△DOE中,DE=
=
=4
,
∴CD=DE+EC=DE+OE=4
+2
=6
.
设⊙P的半径为r,则在Rt△PCD中,由勾股定理知PC2+CD2=PD2,
即 r2+(6
)2=(6+r)2,
解得 r=6,即⊙P的半径长为6.
∵直线y=
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∴点E的坐标为(0,2
3 |
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又∵点B的坐标为(0,4
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∴OB=4
3 |
∴BE=OE=2
3 |
又∵OA是⊙P的直径,
∴∠ACO=90°,即OC⊥AB,
∴OE=CE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
(2)直线CD是⊙P的切线.
①证明:连接PC、PE,由①可知:OE=CE.
在△POE和△PCE,
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∴△POE≌△PCE,
∴∠POE=∠PCE.
又∵x轴⊥y轴,
∴∠POE=∠PCE=90°,
∴PC⊥CE,即:PC⊥CD.
又∵直线CD经过半径PC的外端点C,
∴直线CD是⊙P的切线;
②∵对y=
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3 |
在Rt△DOE中,DE=
OD2+OE2 |
62+(2
|
3 |
∴CD=DE+EC=DE+OE=4
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设⊙P的半径为r,则在Rt△PCD中,由勾股定理知PC2+CD2=PD2,
即 r2+(6
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解得 r=6,即⊙P的半径长为6.
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