椭圆=1(a＞b＞0)的一条切线与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于M、N两点，则△OMN面积的最小值为()A.abB.abC.2D.2ab

Question

椭圆 =1(a＞b＞0)的一条切线与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于M、N两点，则△OMN面积的最小值为    (    )

A. ab              B.ab                 C. ²         D.2ab

Answer 1

答案：B  【解析】本题考查直线与椭圆相切的条件、直线与坐标轴的交点以及基本不等式的应用等知识.根据题意 设直线MN的方程y=kx+c(k＜0 c＞0).所以可得M(- 0) N(0 c).S△MON= ×(- )×c= .  ①

由 消去y得 (b ² +a ² k ² )x ² +2a ² kcx+a ² c ² -a ² b ² =0 由直线与椭圆相切 所以有△=4a ⁴ k ² c ² -4(b ² +a ² k ² )(a ² c ² -a ² b ² )=0.化简得c ² =b ² +a ² k ²   ②  把②代入① 且由k＜0 得S _{△ MON} = ≥2 =ab.所以三角形OMN面积的最小值为ab.