已知椭圆C：，F1，F2分别为左，右焦点，离心率为，点A在椭圆C上，，，过F2与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆C的方程；（2）在线段OF2上是否存在点M（m

Question

已知椭圆C： ，F ₁ ，F ₂ 分别为左，右焦点，离心率为 ，点A在椭圆C上， ， ，过F ₂ 与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在线段OF ₂ 上是否存在点M（m，0），使得以线段MP，MQ为邻边的四边形是菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：
（1）在焦点三角形F1AF2中，由，可得顶角A的余弦值，由椭圆定义及离心率为，，即可将三边都用a表示，最后利用余弦定理列方程即可解得a值，进而得椭圆C的方程（2）先设出点P、Q的坐标及直线l的方程，代入椭圆方程，得关于x的一元二次方程，利用韦达定理得交点P、Q横坐标的和与积，再由存在点M（m，0），使得以线段MP，MQ为邻边的四边形是菱形，知，将坐标代入后可得m关于k的函数，求其值域，看是否符合题意即可

（1）由已知，∴2c=a，即|F1F2|=a∵，∴又∵，∴，在△F1AF2中，由余弦定理得，即a2-4a+4=0∴a=2∴c=1，b2=a2-c2=3，∴椭圆方程为．（2）假设存在点M（m，0）（0＜m＜1）满足条件，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y=k（x-1），联立：，∵直线l过焦点，∴△＞0∴，∵线段MP，MQ为邻边的四边形是菱形∴∵，，，，∴，∵x2-x1≠0，k=∴x2+x1-2m+k（y2+y1）=0，∵y2+y1=k（x1-1）+k（x2-1）=k（x2+x1）-2k∴x2+x1-2m+k2（x2+x1-2）=0，∴，∴，∴，又∵M（m，0）在线段OF2上，则0＜m＜1，故存在满足题意．
点评：
本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质，焦点三角形的性质，直线与椭圆的位置关系，特别是直线与椭圆相交时利用韦达定理，设而不求的技巧解决问题的能力