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已知:椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为8,且经过点(0,3)(1)求此椭圆的方程(2)若已知直线l:4x-5y+40=0,问:椭圆C上是否存在一点,使它到直线l的距离最小?最小距离是多
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已知:椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为8,且经过点(0,3)
(1)求此椭圆的方程
(2)若已知直线l:4x-5y+40=0,问:椭圆C上是否存在一点,使它到直线l的距离最小?最小距离是多少?
(1)求此椭圆的方程
(2)若已知直线l:4x-5y+40=0,问:椭圆C上是否存在一点,使它到直线l的距离最小?最小距离是多少?
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意知,2c=8,c=4,
∴b=3,
从而a2=b2+c2=25,
∴方程是
+
=1…(4分)
(2)由直线l的方程与椭圆的方程可以知道,直线l与椭圆不相交
设直线m平行于直线l,则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0(1)
由方程组
消去y,得25x2+8kx+k2-225=0(2)
令方程(2)的根的判别式△=0,得64k2-4×25(k2-225)=0(3)
解方程(3)得k1=25或k2=-25,
∴当k1=25时,直线m与椭圆交点到直线l的距离最近,此时直线m的方程为4x-5y+25=0
直线m与直线l间的距离d=
=
所以,最小距离是
.…(8分)
∴b=3,
从而a2=b2+c2=25,
∴方程是
x2 |
25 |
y 2 |
9 |
(2)由直线l的方程与椭圆的方程可以知道,直线l与椭圆不相交
设直线m平行于直线l,则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0(1)
由方程组
|
消去y,得25x2+8kx+k2-225=0(2)
令方程(2)的根的判别式△=0,得64k2-4×25(k2-225)=0(3)
解方程(3)得k1=25或k2=-25,
∴当k1=25时,直线m与椭圆交点到直线l的距离最近,此时直线m的方程为4x-5y+25=0
直线m与直线l间的距离d=
|40−25| | ||
|
15 |
41 |
41 |
所以,最小距离是
15 |
41 |
41 |
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