（2014•太原二模）已知点E（-2，0），F（2，0），曲线C上的动点M满足ME•MF＝−3，定点A（2，1），由曲线C外一点P（a．b），P（a，b）向曲线C引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求曲线C

Question

（2014•太原二模）已知点E（-2，0），F（2，0），曲线C上的动点M满足

ME

•

MF

＝−3，定点A（2，1），由曲线C外一点P（a．b），P（a，b）向曲线C引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（1）求曲线C的方程；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的圆P与曲线C有公共点，试求半径取最小值时圆P的标准方程．

Answer 1

（1）设M（x，y），则

ME

＝(−2−x，−y)，

MF

＝(2−x，−y)，
∴

ME

•

MF

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²=-3，
∴x²+y²=1
∴M点轨迹（曲线C）方程为x²+y²=1；
（2）连结OP，∵Q为切点，∴PQ⊥OQ，
由勾股定理有：|PQ|²=|OP|²-|OQ|²．
又由已知|PQ|=|PA|，故|PQ|²=|PA|²．
即：（a²+b²）-1²=（a-2）²+（b-1）²，
化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a+b-3=0，即b=-2a+3．（6分）
∴|PQ|=√(a2+b2−1)√(5a2−12a+8)=√(5(a−(6)/(5))2+(4)/(5))，
故当a=(6)/(5)时，线段PQ长的最小值为(2)/(5)

作业帮用户 2017-11-03 举报

问题解析

（1）设出M的坐标，利用向量的数量积公式化简，可得曲线C的方程；
（2）求出P的坐标之间的关系，表示出线段PQ长，利用配方法可求PQ的最小值；
（3）根据P为圆心所作的圆P与曲线C有公共点，确定半径的范围，利用配方法，即可求半径取最小值时圆P的标准方程．

名师点评

本题考点：

直线和圆的方程的应用．

考点点评：

本题考查圆的方程，考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查圆与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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