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(选修4-1:几何证明选讲)如图,⊙O1与⊙O2交于M、N两点,直线AE与这两个圆及MN依次交于A、B、C、D、E.求证:AB•CD=BC•DE.
题目详情

如图,⊙O1与⊙O2交于M、N两点,直线AE与这两个圆及MN依次交于A、B、C、D、E.
求证:AB•CD=BC•DE.
▼优质解答
答案和解析
∵在圆O1中,AD、MN相交于点C,
∴根据相交弦定理,得AC•CD=MC•CN.
同理在圆O2中有BC•CE=MC•CN,
∴AC•CD=BC•CE…(5分)
即(AB+BC)•CD=BC•(CD+DE),
得AB•CD+BC•CD=BC•CD+BC•DE,
∴AB•CD=BC•DE …(10分)
∴根据相交弦定理,得AC•CD=MC•CN.
同理在圆O2中有BC•CE=MC•CN,
∴AC•CD=BC•CE…(5分)
即(AB+BC)•CD=BC•(CD+DE),
得AB•CD+BC•CD=BC•CD+BC•DE,
∴AB•CD=BC•DE …(10分)
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