求下列积分：（1）∫2xarctanx(1+x2)2dx；（2）∫π30sin2x1+esin2xdx；（3）∫+∞0e-xsinxdx．

Question

求下列积分：
（1）∫(2xarctanx)/((1+x2)2)dx；
（2）

∫

(π)/(3) 0

(sin2x)/(1+esin2x)dx；
（3）

∫

+∞ 0

e^-xsinxdx．

Answer 1

（1）原式=∫arctanxd(−(1)/(1+x2))＝−(arctanx)/(1+x2)+∫(1)/(1+x2)darctanx＝−(arctanx)/(1+x2)+∫(1)/((1+x2)2)dx
对上式的积分，利用换元，令x=tant，t∈(−(π)/(2)，(π)/(2))，则dx=sec²tdt，(1)/((1+x2)2)＝(1)/(sec4t)，
因此∫(1)/((1+x2)2)dx＝∫cos2tdt＝∫(1+cos2t)/(2)dt＝(t)/(2)+(sin2t)/(4)+c=(arctanx)/(2)+(x)/(2(1+x2))+c
∴原式=arctanx((1)/(2)−(1)/(1+x2))+(x)/(2(1+x2))+c
（2）原式=

∫

(π)/(3) 0

(2sinxdsinx)/(1+esin2x)

令t＝sinx

.

∫	(√(3))/(2) 0

(2tdt)/(1+e<作业帮用户2017-10-09举报问题解析（1）被积函数可看作由(2x)/((1+x2)2)和arctanx两部分组成，注意到((1′)/(1+x2))′＝(x)/((1+x2)2)，因此先凑微分，再用分部积分法；（2）利用换元法，思考被积函数中sin2x和(1)/(1+esin2x)，可以看出：sin2xdx=2sinxcosxdx=2sinxdsinx，凑微分，本题即可解出；（3）先将∫e-xsinxdx利用分部积分法求出来，然后再根据无穷限的反常积分的定义求解即可．名师点评本题考点：定积分的换元积分法；分部积分法．考点点评：三道积分题目，考查了不定积分或者定积分的换元法（第一类和第二类）和反常积分的计算．综合性比较强，并且要根据题目来选择恰当的方法．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)