希望可以给出详细的过程,刚学高数感觉不是很明白其中的原理.为什么arctanx~x,secx-1~x^2。如果出现类似lim(x趋于0)(tanx-sinx)/sin^3x的题目该怎么解，

Question

希望可以给出详细的过程,刚学高数感觉不是很明白其中的原理.
为什么arctanx~x,secx-1~x^2。
如果出现类似lim(x趋于0)(tanx-sinx)/sin^3x的题目该怎么解，

Answer 1

lim x/arctanx
=lim tan(arctanx)/arctanx
=sin(arctanx)/arctanx*cos(arctanx)
=1
所以arctanx~x
lim (secx - 1)/x^2
=lim (1-cosx)/cosx/x^2
=lim (1-cosx)/x^2
=1/2
所以secx-1~(1/2)x^2
lim (tanx-sinx)/sin^3x
=lim tanx(1-cosx)/sin^3 x
=lim x * (x^2/2) / x^3
=1/2