设y=f（x）为三次函数，且图象关于原点对称，当x=12时，f（x）的极小值为-1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）图象上任意两点的连线的斜率恒大于0．

Question

设y=f（x）为三次函数，且图象关于原点对称，当x=(1)/(2)时，f（x）的极小值为-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）图象上任意两点的连线的斜率恒大于0．

Answer 1

（Ⅰ）设f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）
∵其图象关于原点对称，即f（-x）=-f（x）
得-ax³+bx²-cx+d=-ax³-bx²-cx-d
∴b=d=0，
则有f（x）=ax³+cx
由f′（x）=3ax²+c，依题意得f′（(1)/(2)）=0
∴(3)/(4)a+c＝0①
f（(1)/(2)）=(1)/(8)a+(1)/(2)c＝−1②（5分）
由①②得a=4，c=-3故所求的解析式为：f（x）=4x³-3x．（6分）
（Ⅱ）由f′（x）=12x²-3＞0
解得：x＞(1)/(2)或x＜−(1)/(2)（8分）
∵（1，+∞）⊂（(1)/(2)，+∞）
∴x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递增；（10分）
设（x₁，y₁），（x₂，y₂）是x∈（1，+∞）时，
函数f（x）图象上任意两点，
且x₂＞x₁，则有y₂＞y₁
∴过这两点的直线的斜率k＝(y2−y1)/(x2−x1)＞0．（12分）