设f(x)的一个原函数是ln^2(x),则不定积分xf'(x^2+1)等于?

Question

设f(x)的一个原函数是ln^2(x),则不定积分xf'(x^2+1)等于?

Answer 1

∫ f(x) dx = ln²x => f(x) = (2lnx)/x
∫ xf'(x² + 1) dx,令u = x² + 1,du = 2xdx => dx = du/(2x)
= ∫ x * f'(u) * du/(2x)
= (1/2)∫ f'(u) du
= (1/2)f(u) + C
= (1/2) * (2lnu)/u + C
= [ln(x² + 1)]/(x² + 1) + C
做这种题最紧要是有技巧,直接求出f'(x² + 1)然后再积分未免有点笨.