已知等差数列{an}的前n项和为Sn，并且a2=2，S5=15，数列{bn}满足：b1=12，bn+1=n+12nbn（n∈N+），记数列{bn}的前n项和为Tn．（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和公式Sn；（2）求数列{bn}的通项公式bn

Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，并且a₂=2，S₅=15，数列{b_n}满足：b₁=(1)/(2)，b_n+1=(n+1)/(2n)b_n（n∈N⁺），记数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和公式S_n；
（2）求数列{b_n}的通项公式b_n及前n项和公式T_n；
（3）记集合M={n|(2Sn(2−Tn))/(n+2)≥λ，n∈N⁺}，若M的子集个数为16，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）设数列{a_n}的公差为d，
由题意得

a1+d＝2

5a1+10d＝15

，解得

a1＝1

d＝1

，
∴a_n=n，
∴Sn＝(n2+n)/(2)．
（2）由题意得(bn+1)/(bn)＝(1)/(2)•(n+1)/(n)，
累乘得bn＝(bn)/(bn−1)•(bn−1)/(bn−2)•…•(b2)/(b1)•b1＝((1)/(2))n((n)/(n−1)×(n−1)/(n−2)×…×(2)/(1))＝(n)/(2n)．
由题意得Tn＝(1)/(2)+(2)/(22)+(3)/(23)+…+(n)/(2n)①
(1)/(2)Tn＝(1)/(22)+(2)/(23)+(3)/(24)+…+(n−1)/(2n)+(n)/(2n+1)②
②-①得：(1)/(2)Tn＝(1)/(2)+(1)/(4)+(1)/(8)+…+(1)/(2n)−(n)/(2n+1)＝((1)/(2)(1−(1)/(2n)))/(1−(1)/(2))−(n)/(2n+1)＝1−−(n+2)/(2n+1)
∴Tn＝2−(n+2)/(2n)
（3）由上面可得(2Sn(2−Tn))/(n+2)＝(n2+n)/(2n)，令f(n)＝(n2+n)/(2n)，
则f（1）=1，f(2)＝(3)/(2)，f(3)＝(3)/(2)，f(4)＝(5)/(4)，f(5)＝(15)/(16)．
下面研究数列f(n)＝(n2+n)/(2n)的单调性，
∵f(n+1)−f(n)＝((n+1)2+n+1)/(2n+1)−(n2+n)/(2n)＝((n+1)(2−n))/(2n+1)，
∴n≥3时，f（n+1）-f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）单调递减．
∵集合M的子集个数为16，
∴M中的元素个数为4，
∴不等式(n2+n)/(2n)≥λ，n∈N⁺解的个数为4，
∴(15)/(16)＜λ≤1