已知各项为正数的等差数列{an}满足．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Sn．

Question

已知各项为正数的等差数列{a_n}满足．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（I）（方法一）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意可得，结合a_n＞0可知d＞0，从而可求d，进而可求通项
（方法二）由等差数列的性质可知a₂+a₈=a₃+a₇，结合a₃•a₇=32可求a₃，a₇，进而可求公差d，从而可求通项
（II）由题意可得=2ⁿ⁺¹，从而可得c_n=a_n+b_n=n+1+2ⁿ⁺¹，利用分组求和及等差数列与等比数列的求和公式可求
【解析】
（I）（方法一）设等差数列{a_n}的公差为d
则
联立方程，消去a₁可得，9-d²=8
∴d²=1
∴d=±1（4分）
由a_n＞0可知公差d＞0
∴d=1
∴a₁=2
∴a_n=n+1（6分）
（方法二）∵数列{a_n}是等差数列
由等差数列的性质可得，a₂+a₈=a₃+a₇=12
∵a₃•a₇=32
∴
解方程可得，或（4分）
∵a_n＞0
∴d＞0，
∴
由等差数列的通项公式可得，d==
∴等差数列的通项公式为：a_n=a₃+（n-3）d=n+1（6分）
（II）由=2ⁿ⁺¹
∴c_n=a_n+b_n=n+1+2ⁿ⁺¹
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）（9分）
=[2+3+…+（n+1）]+（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）
==（12分）