用S（n）表示自然数n的数字和，如S（1）=1，S（12）=3，S（516）=12，等等，试问是否存在这样的自然数n，使得n+S（n）=2008？请说明理由．

Question

用S（n）表示自然数n的数字和，如S（1）=1，S（12）=3，S（516）=12，等等，
试问是否存在这样的自然数n，使得n+S（n）=2008？请说明理由．

Answer 1

n=1985或2003（2分）（每个1分）
∵n+S（n）=2008，
∴1900＜n＜2008，
则可设n=1900+10x+y或n=2000+10x+y，
其中0≤x≤9，0≤y≤9，且x，y为整数．（4分）
（1）若n=1900+10x+y，
则1900+10x+y+1+9+x+y=2008，
即11x+2y=98，
∴

x＝8

y＝5

，n=1985．（8分）
（2）若n=2000+10x+y，
则2000+10x+y+2+x+y=2008，
即11x+2y=6，
∴

x＝0

y＝3

，n=2003．
∴n=1985或2003．（12分）