已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为23，高为3，球O是正四棱锥P-ABCD的内切球，则球O的表面积为（）A．16πB．32πC．4πD．43π

Question

已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2√(3)，高为3，球O是正四棱锥P-ABCD的内切球，则球O的表面积为（　　）

A．16π
B．32π
C．4π
D．(4)/(3)π

Answer 1

设球的半径为r，
连接OP，OA，OB，OC，OD，得到四个三棱锥和一个四棱锥
它们的高均为r，
则V_P-ABCD=V_O-PAB+V_O-PAD+V_O-PBC+V_O-PCD+V_O-ABCD
即(1)/(3)×3×（2√(3)）2=(1)/(3)r（4×S_△PBC+12），
由四棱锥的高和斜高，及斜高在底面的射影构成的直角三角形得到，
斜高为√(32+(√(3))2)=2√(3)
∴S_△PBC=(1)/(2)×（2√(3)）2=6，
∴r=(3×12)/(4×6+12)=1，
则球的表面积为4π．
故选C．