设A是一个二阶矩阵,试证明如果存在正整数L大于等于2,使得A的L次等于0,那么A的2次等于0.

Question

设A是一个二阶矩阵,试证明 如果存在正整数L大于等于2,使得A的L次等于0,那么A的2次等于0.

Answer 1

有个结论:对n阶矩阵有 r(A^n) = r(A^(n+1))
推广之有 r(A^n) = r(A^(n+1)) = r(A^(n+2)) = .
所以 r(A^2) = r(A^3) = ...=r(A^L) = 0
所以 A^2 = 0.