高等数学中一个简单的证明如何证明“函数f（x）在区间上有界”与“函数f（x）在区间上既有上界又有下界”是等价命题.这几个都不大对么

Question

高等数学中一个简单的证明
如何证明“函数f（x）在区间上有界” 与 “函数f（x）在区间上既有上界又有下界” 是等价命题.
这几个都不大对么

Answer 1

证明：若函数f（x）在区间上有界,则存在M>0,使得∣f(x)∣≤M,
即 -M≤f(x)≤M,
即 函数f（x）在区间上既有上界又有下界
若函数f（x）在区间上既有上界又有下界,则设下界为a,上界为b,
有 a≤f(x)≤b
令M=max{∣a∣,∣b∣}>0
则有 ∣f(x)∣≤M,即 函数f（x）在区间上有界