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如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°,△EDF绕着边AB的中点D旋转,DE,DF分别交线段AC于点M,K。(1)观察:①如图2、图3,当∠CDF=0°或60°时,AM+CKMK(填“>”,“<”
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如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°,△EDF绕着边AB的中点D旋转,DE,DF分别交线段AC于点M,K。 (1)观察: ①如图2、图3,当∠CDF=0°或60°时,AM+CK_______MK(填“>”,“<”或“=”); ②如图4,当∠CDF=30° 时,AM+CK___MK(只填“>”或“<”); (2)猜想:如图1,当0°<∠CDF<60°时,AM+CK____MK,证明你所得到的结论; (3)如果MK 2 +CK 2 =AM 2 ,请直接写出∠CDF的度数和 的值。 |
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▼优质解答
答案和解析
(1)①在Rt△ABC中,D是AB的中点, ∴AD=BD=CD= ,∠B=∠BDC=60° 又∵∠A=30°, ∴∠ACD=60°﹣30°=30°, 又∵∠CDE=60°,或∠CDF=60°时, ∴∠CKD=90°, ∴在△CDA中,AM(K)=CM(K), 即AM(K)=KM(C)(等腰三角形底边上的垂线与中线重合), ∵CK=0,或AM=0, ∴AM+CK=MK; ②由①,得∠ACD=30°,∠CDB=60°, 又∵∠A=30°,∠CDF=30,∠EDF=60°, ∴∠ADM=30°, ∴AM=MD,CK=KD, ∴AM+CK=MD+KD, ∴在△MKD中,AM+CK>MK(两边之和大于第三边); (2)> 证明:作点C关于FD的对称点G, 连接GK,GM,GD,则CD=GD,GK=CK,∠GDK=∠CDK, ∵D是AB的中点, ∴AD=CD=GD、 ∵∠A=30°, ∴∠CDA=120°, ∵∠EDF=60°, ∴∠GDM+∠GDK=60°,∠ADM+∠CDK=60°. ∴∠ADM=∠GDM, ∵DM=DM, ∴ ∴△ADM≌△GDM,(SAS) ∴GM=AM ∵GM+GK>MK, ∴AM+CK>MK; (3)由(2),得GM=AM,GK=CK, ∵MK 2 +CK 2 =AM 2 , ∴MK 2 +GK 2 =GM 2 , ∴∠GKM=90°, 又∵点C关于FD的对称点G, ∴∠CKG=90°,∠FKC= ∠CKG=45°, 又有(1),得∠A=∠ACD=30°, ∴∠FKC=∠CDF+∠ACD, ∴∠CDF=∠FKC﹣∠ACD=15°, 在Rt△GKM中,∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°, ∴∠GMK=30°, ∴ = , ∴ = 。 |
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