已知函数f（x）=a2x-2ax+1+2（a＞0，a≠1）的定义域为[-1，+∞）．（1）若a=2，求f（x）的值域；（2）求f已知函数f（x）=a2x-2ax+1+2（a＞0，a≠1）的定义域为[-1，+∞）．（1）若a=2，求f（x）的值域

Question

已知函数f（x）=a2x-2ax+1+2（a＞0，a≠1）的定义域为[-1，+∞）．（1）若a=2，求f（x）的值域；（2）求f
已知函数f（x）=a^2x-2a^x+1+2（a＞0，a≠1）的定义域为[-1，+∞）．
（1）若a=2，求f（x）的值域；
（2）求f（x）的最小值；
（3）当0＜a＜1时，若f（x）≤3对x∈[-1，2]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=2时，
f（x）=2^2x-2?2^x+1+2，
f（x）=2^2x-4?2^x+2，x∈[-1，+∞）．
令2^x=t，（t≥(1)/(2)），
g（t）=t²-4t+2=（t-2）²-2≥-2．
当且仅当t=2时取最值．
∴当a=2时，f（x）的值域为[-2，+∞）；
（2）令a^x=t，
①当a＞1时，
∵x∈[-1，+∞），
∴t∈[(1)/(a)，+∞)．
g（t）=t²-2at+2=（t-a）²+2-a²．
∵a＞1，
∴(1)/(a)＜1＜a．
∴g（t）≥2-a²．
∴f（x）的最小值为：2-a²．
②当0＜a＜1时，
∵x∈[-1，+∞），
∴0＜t≤(1)/(a)．
g（t）=t²-2at+2=（t-a）²+2-a²．
∵0＜a＜1，
∴a＜1＜(1)/(a)．
∴g（t）≥2-a²．
∴f（x）的最小值为：2-a²．
综上，f（x）的最小值为：2-a²．
（3）当0＜a＜1时，
令a^x=t，
g（t）=t²-2at+2，
∵当0＜a＜1时，
∵f（x）≤3对x∈[-1，2]恒成立，
∴g（t）≤3，t∈[a²，(1)/(a)]．
∴

g(a2)≤3

g((1)/(a))≤3

．
∴√((?2a2+1?a4≤0，恒成立)/(a≤?(√(3))/(3)或a≥作业帮用户2017-09-11举报扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议))