已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（-x0）=-f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（I）若a∈R且a≠0，求函数f（x）=ax2+x-a的“局部对称点”；（II）若函数f（x）=4x-m•2x+

Question

已知函数y=f（x），若在定义域内存在x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，则称x₀为函数f（x）的局部对称点．
（I）若a∈R且a≠0，求函数f（x）=ax²+x-a的“局部对称点”；
（II）若函数f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=ax²+x-a，得f（-x）=ax²-x-a，
代入f（-x）=-f（x），得ax²+x-a+ax²-x-a=0，即ax²-a=0（a≠0），
∴x=±1，
∴函数f（x）=ax²+x-a的局部对称点是±1；
（Ⅱ）∵f（-x）=4^-x-m•2^-x+1+m²-3，由f（-x）=-f（x），
得4^-x-m•2^-x+1+m²-3=-（4^x-m•2^x+1+m²-3），
于是4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2（m²-3）=0①在R上有解，
令t=2^x+2^-x，（t≥2），则4^x+4^-x=t²-2，
∴方程①变为t²-2mt+2m²-8=0在区间[2，+∞）内有解，
令g（t）=t²-2mt+2m²-8，由题意需满足以下条件：
g（2）≤0或

4m2-8(m2-4)≥0

m≥2

g(2)≥0

，
解得1-√(3)≤m≤1+√(3)或1+√(3)≤m≤2√(2)，
综上1-√(3)≤m≤2√(2)．