已知幂函数,且在上单调递增.(1)求实数的值,并写出相应的函数的解析式;(2)若在区间上不单调,求实数的取值范围;(3)试判断是否存在正数,使函数在区间上的值域为若存在,

Question

已知幂函数 ,且 在 上单调递增.
(1)求实数 的值,并写出相应的函数 的解析式;
(2)若 在区间 上不单调,求实数 的取值范围;
(3)试判断是否存在正数 ,使函数 在区间 上的值域为 若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

已知幂函数 ,且 在 上单调递增.
(1)求实数 的值,并写出相应的函数 的解析式;
(2)若 在区间 上不单调,求实数 的取值范围;
(3)试判断是否存在正数 ,使函数 在区间 上的值域为 若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.

(1) 或 ,  (2)  (3)

作业帮用户 2017-10-26

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试题分析：(1)由题意知 ,解得: .   2分
又  ∴ 或 ,   3分
分别代入原函数,得 .   4分
(2)由已知得 .   5分
要使函数不单调，则 ，则 .   8分
(3)由已知, .    9分
法一:假设存在这样的正数 符合题意,
则函数 的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为 ,
因而,函数 在 上的最小值只能在 或 处取得,
又 ,
从而必有 ,解得 .
此时, ,其对称轴 ,
∴ 在 上的最大值为 ,符合题意.
∴存在 ,使函数 在区间 上的值域为 14分法二:假设存在这样的正数 符合题意,
由(1)知 ,
则函数 的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为 ,

点评：第二问中二次函数不单调需满足对称轴在给定区间内，第三问关于最值的考查需注意对称轴与给定区间的关系，从而确定给定区间上的单调性得到最值，一般求解时都要分情况讨论