已知函数f（x）=xln（x+1）-a（x+1），其中a为常数，（1）求函数的定义域；（2）若函数f（x）在[1，+∞）上是单调递增函数，求a的取值范围；（3）若a＞1，求g（x）=f′（x）-axx+1的单调区间．

Question

已知函数f（x）=xln（x+1）-a（x+1），其中a为常数，
（1）求函数的定义域；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上是单调递增函数，求a的取值范围；
（3）若a＞1，求g（x）=f′（x）-(ax)/(x+1)的单调区间．

Answer 1

（1）∵x+1＞0，
∴x＞-1，
函数的定义域为（-1，+∞）；
（2）由f'（x）=ln（1+x）+(x)/(1+x)-a＞0
得a＜ln（1+x）+(x)/(1+x)，
令h（x）=ln（1+x）+(x)/(1+x)，则h'（x）=(1)/(1+x)+(1)/((1+x)2)．
当x∈[1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）在[1，+∞）上递增，
∴a＜h（1）=(1)/(2)+ln2．
∴实数a的取值范围是（-∞，(1)/(2)+ln2）．
（3）g（x）=ln（1+x）+((1−a)x)/(1+x)-a，x∈（-1，+∞），
则g'（x）=(x+2−a)/((x+1)2)①当a＞1时，x∈（-1，a-2），g'（x）＜0，g（x）是减函数，
x∈（a-2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数．
②当a≤1时，x∈（-1，+∞），g'（x）＞0，g（x）是增函数．
所以：当a＞1时，减区间为（-1，a-2），增区间为（a-2，+∞）；
当a≤1时，增区间为（-1，+∞）．