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P(x,y)(x≠±a)是双曲线E:上一点,M,N分别是双曲线E的左右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率;(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线
题目详情
P(x ,y )(x ≠±a)是双曲线E: 上一点,M,N分别是双曲线E的左右顶点,直线PM,PN的斜率之积为 .
(1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足 ,求λ的值.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足 ,求λ的值.
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答案和解析
【答案】分析:(1)根据P(x,y)(x≠±a)是双曲线E:上一点,代入双曲线的方程,M,N分别是双曲线E的左右顶点,直线PM,PN的斜率之积为,求出直线PM,PN的斜率,然后整体代换,消去x,y,再由c2=a2+b2,即可求得双曲线的离心率;(2)根据过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线,写出直线的方程,联立直线与双曲线的方程,消去y,得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理,及A,B,C为双曲线上的点,注意整体代换,并代入,即可求得λ的值.(1)∵P(x,y)(x≠±a)是双曲线E:上一点,∴,由题意又有,可得a2=5b2,c2=a2+b2,则e=,(2)联立,得4x2-10cx+35b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1•x2=,设=(x3,y3),,即又C为双曲线上一点,即x32-5y32=5b2,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,化简得:λ2(x12-5y12)+(x22-5y22)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以x12-5y12=5b2,x22-5y22=5b2,而x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,得λ2+4λ=0,解得λ=0或-4.点评:此题是个难题.本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力.其中问题(2)考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力,
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