（2014•安徽）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞-1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{an}满足a1＞c1p，an+1=p−1pan+cpan1-p．证明：an＞an+1＞c1p．

Question

（2014•安徽）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：当x＞-1且x≠0时，（1+x）^p＞1+px；
（Ⅱ）数列{a_n}满足a₁＞c(1)/(p)，a_n+1=(p−1)/(p)a_n+(c)/(p)a_n^1-p．证明：a_n＞a_n+1＞c(1)/(p)．

Answer 1

证明：（Ⅰ）令f（x）=（1+x）^p-（1+px），则f′（x）=p（1+x）^p-1-p=p[（1+x）^p-1-1]．
①当-1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p-1＞0，∴（1+x）^p-1＜（1+x）⁰=1，
∴（1+x）^p-1-1＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（-1，0]上为减函数，
∴f（x）＞f（0）=（1+0）^p-（1+p×0）=0，即（1+x）^p-（1+px）＞0，
∴（1+x）^p＞1+px．
②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）^p-1＞（1+x）⁰=1，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）＞f（0）=0，
∴（1+x）^p＞1+px．
综合①、②知，当x＞-1且x≠0时，都有（1+x）^p＞1+px，得证．
（Ⅱ）先证a_n+1＞c(1)/(p)．
∵a_n+1=(p−1)/(p)a_n+(c)/(p)a_n^1-p，∴只需证(p−1)/(p)a_n+(c)/(p)a_n^1-p＞c(1)/(p)，
将(p−1)/(p)写成p-1个(1)/(p)相加，上式左边=(1)/(p)an+(1)/(p)an+…+(1)/(p)an+(ca1−pn)/(p)≥p

p	(ap−1n)/(pp−1)•(ca1−pn)/(p)

＝c(1)/(p)，
当且仅当(an)/(p)＝(ca1−pn)/(p)，即an＝c(1)/(p)时，上式取“=”号，
当n=1时，由题设知a1＞c(1)/(p)，∴上式“=”号不成立，
∴

作业帮用户 2017-10-03