数学思考题初二啊1.已知a+b+c=0,a^2+b^2+c^2=4求a^4+b^4+c^4(注：^2表示平方^4表示4次方)2.n为自然数,证明n^4+4=｛（n-1）^2+1｝×｛（n+1）^2+1｝3.设a、b、c、d都是整数,且m=a^2+

Question

数学思考题 初二啊
1.已知 a+b+c=0,a^2 + b^2 + c^2 =4
求a^4 + b^4 + c^4
(注： ^2 表示 平方 ^4表示 4次方)
2.n为自然数,证明 n^4 +4 =｛（n-1）^2 +1｝×｛（n+1）^2 +1｝
3.设 a、b、c、d 都是整数,且 m=a^2 + b^2,n=c^2 + d^2
请将 mn 表示成这两个整数的平方和 的形式.

Answer 1

只要你时刻想着“这是初二的题（好在不是高二的,或是大二的）”,你就会发现这是很简单的了
1.a+b+c=0,则（a+b+c）^2=0,a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0,4+2(ab+bc+ca)=0,ab+bc+ca=-2
则(ab+bc+ca)^2=4,(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2abc(a+b+c)=4,(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+0=4
又(a^2 + b^2 + c^2 ) =4^2
即a^4+b^4+c^4+2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]=16
得a^4+b^4+c^4=8
(此外,如果是小题,还可以用代特殊值的方法：由条件可得一组解,a=0,b=√2,c=-√2,则a^4+b^4+c^4=0+4+4=8)
2.这道题真的没什么可说的,把等号右边展开就行了,只不过注意一些技巧罢了
[（n-1）^2 +1]×[（n+1）^2 +1]
=(n^2-2n+1+1)(n^+2n+1+1)
=[(n^2+2)-2n][(n^2+2)+2n]
=(n^2+2)^2-(2n)^2
=n^4+4n^2+4-4n^2
=n^4+4
3.mn=(a^2+b^2)(c^2+d^2)
=(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2
=(ac)^2+(bd)^2+2abcd+(ad)^2+(bc)^2-2abcd
=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
(介题,我起初都没看懂是什么.什么叫“这两个整数的平方和”?“这两个整数”是哪两个整数?我想是表示成某两个整数的平方和吧)