为什么两个数相除,结果不能整除或者不能除尽的都是循环小数呢?怎么证明呢?（希望能知道确切的证明过程,而不是从有理数的定义上直接告诉我有理数包含了以上的几种情况.或者告诉我在

Question

为什么两个数相除,结果不能整除或者不能除尽的都是循环小数呢?怎么证明呢?（希望能知道确切的证明过程,而不是从有理数的定义上直接告诉我有理数包含了以上的几种情况.或者告诉我在除法的过程中总能余出让商出现循环的余数.我想确切知道不能整除或不能除尽的为什么是循环小数的证明过程,）

Answer 1

猛然看到这个题,一时间也想不太清楚,大概提供个思路
首先,两个数相除不能除尽的定义就告诉我们不能求出一个有限的商,即无限
下面要说的就是循环,这应该涉及到十进制表示法
而a/b可以表示为p*(1/q) 其中p、q互质且q与2、5互质
同时1/q=1/（q1*q2*q3*...）其中q1、q2、q3...均为非2、5的质数
下面只要再说明：
①1除以质数的小数表示循环
②循环小数与其他数作积所得的无限小数也循环
其中②比较好办,①应该是难点,建议从十进制上下手 ,如果进制是可变的,依我的理解可能就不会出现循环小数,甚至连有理无穷小数都有可能不存在