已知：B=AP,P可逆,证:r(B)=r(A)搞不明白r(B)=r(A)，是不是有这样的定理？

Question

已知：B=AP ,P可逆,证:r(B) = r(A)
搞不明白r(B) = r(A)，是不是有这样的定理？

Answer 1

由秩的性质可知
r(B)=r(AP)≤ min(r(A),r(P))
因为P为可逆矩阵,所以P满秩,因此r(B)≤ r(A)
同理,A=BP^-1,P^-1是可逆矩阵,所以r(A)=r(BP^-1)≤min(r(B),r(P^-1))=r(B)
因此,r(A)=r(B)
PS：以上结论可以直接使用.