（2010•宣武区二模）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，（Ⅰ）求这个组合体的体积；（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为ABCD-A1B1C1D1，其中A1B1BA为

Question

（2010•宣武区二模）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，
（Ⅰ）求这个组合体的体积；
（Ⅱ）若组合体的底部几何体记为ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中A₁B₁BA为正方形．
（i）求证：A₁B⊥平面AB₁C₁D；
（ii）求证：P为棱A₁B₁上一点，求AP+PC₁的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）此组合体底部为长方体，上部为半个圆柱V＝8×8×10+(1)/(2)π×42×10＝640+80π．（5分）
（Ⅱ）（i）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
∴AD⊥平面A₁B₁BA
∵A₁B⊂平面A₁B₁BA
∴AD⊥A₁B
又∵A₁B₁BA是边长为8的正方形
∴A₁B⊥AB₁
∵AB₁∩AD=A
∴A₁B⊥平面AB₁C₁D．（10分）
（ii）将上底面A₁B₁C₁D₁展开，与平面A₁B₁BA共面时，连接C₁A交A₁B₁于点P，即AC₁为最短距离．
此时长度为√(82+182)＝2√(97)．（13分）