（13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．（I）求椭圆C的离心率：（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段

Question

（13分）已知椭圆C： （a＞b＞0）的两个焦点分别为F ₁ （﹣1，0），F ₂ （1，0），且椭圆C经过点 ．
（I）求椭圆C的离心率：
（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且 ，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

（I） （II）点Q的轨迹方程为10（y﹣2） ² ﹣3x ² =18，其中x∈（﹣ ， ），y∈（ ，2﹣ ）

（I）∵椭圆C： （a＞b＞0）的两个焦点分别为F ₁ （﹣1，0），F ₂ （1，0），且椭圆C经过点 ．
∴c=1，2a=PF ₁ +PF ₂ = =2 ，即a=
∴椭圆的离心率e= = = …4分
（II）由（I）知，椭圆C的方程为 ，设点Q的坐标为（x，y）
（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，﹣1）两点，此时点Q的坐标为（0，2﹣ ）
（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x ₁ ，kx ₁ +2），（x ₂ ，kx ₂ +2），则
， ，又|AQ| ² =（1+k ² ）x ² ，
∴ ，即 = …①
将y=kx+2代入 中，得（2k ² +1）x ² +8kx+6=0…②
由△=（8k） ² ﹣24（2k ² +1）＞0，得k ² ＞
由②知x ₁ +x ₂ = ，x ₁ x ₂ = ，代入①中化简得x ² = …③
因为点Q在直线y=kx+2上，所以k= ，代入③中并化简得10（y﹣2） ² ﹣3x ² =18
由③及k ² ＞ 可知0＜x＜ ，即x∈（﹣ ，0）∪（0， ）
由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以﹣1≤y≤1，
又由10（y﹣2） ² ﹣3x ² =18得（y﹣2） ² ∈[ ， ）且﹣1≤y≤1，则y∈（ ，2﹣ ）
所以，点Q的轨迹方程为10（y﹣2） ² ﹣3x ² =18，其中x∈（﹣ ， ），y∈（ ，2﹣ ）…13分