如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，上下顶点分别为A，B，直线BF交椭圆于C点，且．（1）求椭圆的离心率；（2）若P点是椭圆上弧AC上动点，四边形APCB面积的

Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆 （a＞b＞0）的右焦点为F，上下顶点分别为A，B，直线BF交椭圆于C点，且 ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若P点是椭圆上弧AC上动点，四边形APCB面积的最小值为 ，求椭圆的方程．

Answer 1

（1）设点F（c，0），B（0，﹣b），C（x，y）
由 =3 ，得：（c，b）=3（x﹣c，y）
解得：C（ c， ）
代入椭圆方程得： + =1，
∴e= = ，a ² =2c ² ，b=c；
（2）由（1）椭圆方程可写为 + =1，点C（ b， ），
直线AC：x+2y﹣2b=0，
，AC= b，
设点P（x，y）：x ² +2y ² =2b ² ，
点P到直线AC距离为d= ，
（x+2y） ² =x ² +4y ² +4xy≤x ² +4y ² +2（x ² +y ² ）=3（x ² +2y ² ）=6b ² ，
∴d _max = b，
∴由S _max = = 知
b ² =1，
椭圆方程为：x ² +2y ² =2