如图，已知平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，∠CBF=90°，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2．（1）作出这个几何体的三视图（不要求写作法）；（2）设P=DF∩AG，Q是直

Question

如图，已知平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，∠CBF=90°，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2．
（1）作出这个几何体的三视图（不要求写作法）；
（2）设P=DF∩AG，Q是直线DC上的动点，判断并证明直线PQ与直线EF的位置关系；
（3）求三棱锥F-ADE的体积．

Answer 1

（1）如右图．  
（2）垂直．证明如下：
∵四边形BCEF为直角梯形，∠CBF=90°，BF∥CE，BC⊥CE，BC=BF=2，
∴EF⊥CF，
∵平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，
∴DC⊥平面BCEF，
∴DC⊥EF，
∵DC∩CF=C，
∴EF⊥平面DCF，
∵PQ⊂平面DCF，
∴EF⊥PQ；
（3）∵DC=AB=4，BC=BF=2，
∴AF=2√(5)，
设B到平面ADGF的距离为h，则2√(5)•h=4×2，
∴h=(4)/(√(5))，
∴E到平面ADGF的距离为(4)/(√(5))，
∴V_F-ADE=V_E-ADF=(1)/(3)×(1)/(2)×2×2√(5)×(4)/(√(5))=(8)/(3)．